INTEGRACION POR FRACIONES PARCIALES - APLICACION DE INTEGRALES

 Integración por fracciones parciales

 INTEGRACIÓN MEDIANTE EL DESARROLLO DE FRACCIONES PARCIALES

 Si f(x) y g(x) son polinomios, entonces a la expresión f(x)/g(x) se le denomina fracción racional.

 Si el grado de f(x) es menor que el grado de g(x), entonces a la fracción se le llama propia. Es impropia Cuando el grado del numerador es de igual o mayor grado que el denominador.

Cuando se requiere integrar una fracción racional propia de la forma:

 

La fracción pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones parciales cuyos denominadores son los factores de la fracción dada y los numeradores no son conocidos y solo bastaría investigar cual es el numerador de cada una de ellas. 

 

·         El método de integración mediante el desarrollo de fracciones parciales consiste en descomponer en fracciones parciales la fracción racional propia y a partir de ello, obtener la integral de cada una de dichas fracciones. De esta manera se obtiene la integral de la fracción racional.

·         Existen cuatro casos a considerar para la descomposición de la fracción racional.

 

Aplicaciones de integrales

Objetivo: Emplear el método de Integración dobles y triples para el cálculo de áreas y cambio de variables a coordenadas cilíndricas y esféricas.

 

 

 Integrales Triples

La definición de una integral triple es de alta similitud con la definición de las dobles integrales. Considera una región continua de la función y a partir de ésta en vez de generar o dividir en cuadros planos, se generan cubos, es decir cuadros con espesor.

Temas principales:

 Siendo una integral iterada podemos definirla con los siguientes límites e integrando. También se puede destacar que el orden de los diferenciales puede ser intercambiado, pero al mover estos diferenciales se tienen que mover los respectivos límites. 

  Volúmenes:

Para obtener el volumen de un sólido representado por una función se pueden utilizar tanto integrales dobles como triples. En las dobles se sitúa la función en el integrando, en cambio, en la triple el integrando está libre de funciones, sólo se localiza ahí el diferencial del volumen. 

Cilíndricas:

Muchas regiones sólidas comunes como esferas, elipsoides, conos y paraboloides pueden dar lugar a integrales triples difíciles de calcular en coordenadas rectangulares. De hecho, fue precisamente esta dificultad la que llevó a la introducción de sistemas de coordenadas no rectangulares. En esta sección se aprenderá a usar coordenadas cilíndricas y esféricas para evaluar integrales triples.

 

 Esféricas:

Las integrales triples que involucran esferas o conos son a menudo más fáciles de calcular mediante la conversión a coordenadas esféricas.