¿QUÈ ES CALCULO INTEGRAL?
Es una rama matemática encargada de estudiar
las integrales como las anti-derivadas empleadas para calcular áreas y
volúmenes.
El objetivo directo del cálculo era crear
métodos para encontrar funciones primitivas para funciones de clase más
amplia.- Los primeros logros importantes en su elaboración fueron por Johann
Bernoulli siguiéndole Euler con un gran aporte, las aportaciones dadas por
estos aún constituyen dentro del marco de estos problemas de calculo integral.
¿QUÈ ES LA INTEGRACIÓN?
Se puede decir que es la forma reciproca de hacer una derivada, esto se hará dada una función f(x), se buscará aquellas funciones F(x) que al derivarlas no darán a f(x).
Entonces se dice que F(x) es primitiva o anti
derivada de f(x); lo que quiere decir que las primitivas f(x) son las funciones
derivables de F(x) tal que:
F' (x) = f(x)
Tal que si la f(x) contiene primitiva, esta
tiene infinitas primitivas, diferenciándose cada una de estas en una constante.
[F(x) + C]' = F(x) + 0 = F' (x) = f(x)
Diferencial de una función
Cálculo Integral
El cálculo
integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de
las matemáticas en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso
de integración.
Básicamente, la integración es el proceso inverso de
la derivación.
Al resolver una integral obtenemos la ANTIDERIVADA
(también llamada PRIMITIVA)
Anti derivada o
Primitiva
En el curso de Cálculo Diferencial vimos que a partir de una función y = f(x) hallábamos su función derivada y’= f’(x).
Por ejemplo, dada f(x) = x3,
su derivada es f´(x) = 3x2
En el análisis matemático es común
encontrar problemas en los cuales es necesario hallar la función que dio origen
a una función derivada f´(x). Es decir, es necesario realizar el camino inverso
a la derivación. Este proceso se conoce como anti derivación o
integración, y la función F a hallar es una primitiva
o anti derivada de la función dada.
Por ejemplo, dada f(x) = 3x2, ¿Cuál es su primitiva F(x)???, es
decir ¿Cuál es la función que al ser derivada resulta 3x2?
En respuesta al planteamiento
anterior, podemos decir que la anti derivada de f(x) = 3x2 es F(x)=x3
, basándonos en el hecho de que F’(x)=(x3)’=3x2….
Sin embargo, observe que:
De lo anterior podemos afirmar que, F(x)=
x3 + C, donde C es cualquier constante, es la anti derivada
general de f(x) = 3x2
Integración
Considerando lo antes expuesto,
procedemos a dar la siguiente definición:
El conjunto de todas las primitivas de
la función f(x) es conocida como la integral indefinida de f con
respecto a x, la cual se denota:
Al resolver la integral indefinida, obtenemos
por excelencia la anti derivada o primitiva de la función:
Donde C es la constante de integración o constante arbitraria.
De manera que la ecuación anterior se
lee como:
La integral indefinida de f
respecto a x es: F(x) + C
El adjetivo indefinido se usa porque
la constante C es arbitraria o indefinida
Ahora bien, si
retomamos la pregunta… Dada f(x) = 3x2, ¿Cuál es su primitiva F(x)?, es decir ¿Cuál es la función que
al ser derivada resulta 3x2?
Utilizando la integración, para
responder, tenemos el siguiente planteamiento:
Para obtener la anti derivada, debemos recurrir
a las tablas de integración o algún método de integración
Para obtener la anti derivada, debemos recurrir
a las tablas de integración o algún método de integración
Este diagrama sintetiza lo que
comprende el cálculo integral.
Consiste en obtener la PRIMITIVA de
una función, mediante la INTEGRAL INDEFINIDA, que pueden resueltas a través de
tablas o de métodos de integración.
Gracias a las integrales indefinidas
podemos resolver las INTEGRALES DEFINIDAS, que nos permiten el cálculo de áreas
bajo la curva y de volúmenes de sólidos en revolución.
Suma de Riemann
Anteriormente aprendimos a
calcular el área de una región plana R.
donde:
[0,
x] se dividió en n partes iguales de longitud Δx (partición regular)
Se
tomó como el extremo izquierdo o derecho de cada sub intervalo [xi-1,
xi] en el que quedó dividido el intervalo [0, x]
Únicamente
se consideraron valores positivos para f(x) en el intervalo [0, x]
sea f una función continua en [a, b].
Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos no necesariamente iguales eligiendo n-1 puntos entre a y b, y, hagamos x0=a y xn=b de tal forma que:
x0 < x1 < x2
< x3 < … < xn-2 < xn-1 < xn
denotemos por Δix la longitud
de cada subintervalo tal que:
Δ1x = x1
– x0 Δ2x = x2 – x1 …
Δix = xi
– xi-1 …
Δn-1x = xn-1
– xn-2 Δnx = xn – xn-1
Al conjunto de
sub intervalos de [a, b] se le denomina partición de [a, b] y se denota Δ. A la longitud del
sub intervalo (o sub intervalos) más largo de la partición Δ se llama norma de la
partición y se le denota ||Δ||.
Elijamos un punto wi en cada sub intervalo de
la partición Δ tal que
xi-1 ≤ wi ≤ xi
Tracemos
rectángulos que tengan como base a cada subintervalo de la partición Δ y altura f(wi).
Integral
definida
•
Sirve
para calcular el área de debajo de una curva lineal en un intervalo
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